บทที่4 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

1.ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

 

     คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

    ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต Bคือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

       สัญลักษณ์ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B                                 

2.ฟังก์ชันกำลังสอง

 

           ฟังก์ชันกำลังสอง  คือ  ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป  เมื่อ  a,b,c  เป็นจำนวนจริงใดๆ  และ ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับค่าของ  a , b  และ  c  และเมื่อค่าของ  a  เป็นบวกหรือลบ  จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ

จะเห็นว่า  ถ้า  a > 0  กราฟเป็นเส้นโค้งหงายขึ้น

          a < 0  กราฟเป็นเส้นโค้งคว่ำลง

 กราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปนี้มีชื่อว่า  พาราโบลา...อ่านเพิ่มเติม 

3.ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

 

 ฟังก์ชันค่าสมบูรณ์ถูกกำหนดโดยกฎซึ่งแบ่งออกเป็นสองกรณี

ค่าฟังก์ชันสมบูรณ์ | | จะกำหนดโดย

ค่า absolute ของ x ให้ระยะห่างระหว่าง x และ 0 เป็นบวกหรือศูนย์เสมอ

ตัวอย่างเช่น

|3| = 3, |-3| = 3, |0|=0. | 3 | = 3, | -3 | = 3 | 0 | = 0

โดเมนของฟังก์ชันค่าสมบูรณ์คือ R ทั้งเส้นของจริงในขณะที่ช่วงคือช่วง [0, ∞)

ฟังก์ชันค่าสมบูรณ์สามารถอธิบายกฎ…อ่านเพิ่มเติม

บทที่3 จำนวนจริง

 1.จำนวนจริง

 

เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยสับเซตที่สำคัญ ได้แก่

- เซตของจำนวนนับ/ เซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วย I

   I = {1,2,3…}

- เซตของจำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วย  I

- เซตของจำนวนเต็ม เขียนแทนด้วย I

   I = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3…}

- เซตของจำนวนตรรกยะ : เซตของจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วน โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็ม  และ b = 0

- เซตของจำนวนรรกยะ : จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรยะ ซึ่งไม่สมารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ แต่สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ และสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้

ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ

                1.4142135…   มีค่าประมาณ...อ่านเพิ่มเติม

2.สมบัติการไม่เท่ากันของจำนวนจริง

 

   สมบัติเกี่ยวกับการไม่เท่ากันของจำนวนจริง มีดังนี้ ( ให้ a , b , c , d ∈ R )

การไม่เท่ากันของจำนวนจริง ไม่มีสมบัติการสะท้อน ไม่มีสมบัติการสมมาตร แต่มีสมบัติอื่นดังนี้

1. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c

3. สมบัติการคูณจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc ถ้า a > b และ c < 0แล้ว ac < bc

4. สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b

5. สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b ถ้า ac > bc และ c<0 แล้ว a < b

3.ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง

 

    บทนิยาม สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัว ค่าสัมบูรณ์ของ x มีความหมายดังนี้

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์

 1. |x| = a ก็ต่อเมื่อ x = a หรือ x = -a

2. |x| = |-x|

 3. |x| = |y| ก็ต่อเมื่อ x = y หรือ x = -y

 4. |x| = √x2

5. |x| ≥ 0

6. |x| ≥ x

7. |xy| = |x| |y|

8. |x/y| = |x|/|y|

9. |x - y| = |y - x|

10. |x + y| = |x| + |y| ก็ต่อเมื่อ xy ≥ 0

11. |x| ≤ a ก็ต่อเมื่อ -a ≤ x ≤ a

12. |x| ≥ a ก็ต่อเมื่อ  x ≤ -a หรือ x ≥ a

บทที่2 การให้เหตุผล

  1.การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

    การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นวิธีการสรุปผลมาจากการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป

   การหาข้อสรุปหรือความจริงโดยใช้วิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้น  ไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง  เนื่องจากการให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการสรุปผลเกิดจากหลักฐานข้อเท็จจริงที่มีอยู่  ดังนั้นข้อสรุปจะเชื่อถือได้มากน้อยเพียงใดนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูล  หลักฐานและข้อเท็จจริงที่นำมาอ้างซึ่งได้แก่

  1. จำนวนข้อมูล หลักฐานหรือข้อเท็จจริงที่นำมาเป็นข้อสังเกตหรือข้ออ้างมีมากพอกับการสรุปความหรือไม่ เช่น  ถ้าไปทานส้มตำที่ร้านอาหารแห่งหนึ่งแล้วท้องเสีย แล้วสรุปว่า...อ่านเพิ่มเติม 

2.การให้เหตุผลแบบนิรนัย

 

 การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นวิธีการให้เหตุผลโดยสรุปผลจากข้อความซึ่งเป็นความจริงทั่วไปมาเป็นข้ออ้างเพื่อสนับสนุนให้เกิดข้อสรุปที่เป็นความรู้ใหม่ที่เป็นข้อสรุปส่วนย่อยข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผล

แบบนิรนัยนั้นจะเป็นข้อสรุปที่อยู่ในขอบเขตของเหตุเท่านั้นจะเป็นข้อสรุปที่กว้างหรือเกินกว่าเหตุไม่ได้การให้เหตุผลแบบนิรนัยประกอบด้วยข้อความ2กลุ่มโดยข้อความกลุ่มแรกเป็นข้อความที่เป็นเหตุ เหตุอาจมีหลาย ๆเหตุ หลาย ๆข้อความ และข้อความกลุ่มที่สองจะเป็นข้อสรุป ข้อความในกลุ่มแรกและกลุ่มที่สองจะต้องมีความสัมพันธ์กัน

ข้อจำกัดของการให้เหตุผลแบบนิรนัย

 1.การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นการให้เหตุผลที่มีขนาดใหญ่ซึ่งกำหนด เป็นการวางนัยทั่วไปและมีเหตุรองเป็น เหตุการณ์เฉพาะเพื่อนำไปสู่ข้อสรุป ดังนั้นเหตุจะเป็นข้อความหรือ...อ่านเพิ่มเติม

บทที่1 เซต

1.เซต 

 

  ใช้แทนกลุ่มของคน,สัตว์,สิ่งของ หรือสิ่งที่เราสนใจ เราใช้เครื่องหมายปีกกา“{ } ”แสดงความเป็นเซต และสิ่งที่อยู่ภายในปีกกา  เราเรียกสมาชิกของเซต

เซตที่เท่ากัน

     เซต 2 เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อจำนวนสมาชิกและสมาชิกของทั้ง 2 เซต เหมือนกันทุกตัว

เช่น A={1,2,3}          B={1,2,3}     จะได้ A=B

เซตที่เทียบเท่ากัน

     เซต 2 เซตจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของทั้ง 2 เซต เท่ากัน

เช่น  A={a,b,c}   ,     B={1,2,3}

จำนวนสมาชิกของ A= จำนวนสมาชิกของ B= 3 ตัว

n( A ) = n ( B ) = 3

ดังนั้น…อ่านเพิ่มเติม

 

2.สับเซตและพาวเวอร์เซต

 

   สับเซต (Subset) ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า

เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B

ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B

เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B

 สมบัติของสับเซต

1) A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)

2) A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)

3) ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของ...อ่านเพิ่มเติม

3.ยูเนียน อินเตอร์เซกชันและคอมพลีเมนต์ของเซต

 

  ยูเนียน (Union) มีนิยามว่า เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A∪ B

ตัวอย่างเช่น

           A ={1,2,3}

           B= {3,4,5}

             ∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}

   อินเตอร์เซกชัน (Intersection) มีนิยามคือ เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B

ตัวอย่างเช่น…อ่านเพิ่มเติม